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ÉSTA ES UNA VISTA PREVIA. EL NÚMERO TOTAL DE PÁGINAS QUE SE VA A MOSTRAR SERÁ LIMITADO.

 

 

 

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“La ciencia no es más que el refinamiento de las reflexiones cotidianas.”

Albert Einstein

 

 

 

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ÍNDICE

 

Página

PRESENTACIÓN ……………..…………………………........….................................................……. 9

 

 

INTRODUCCIÓN ………………..…………………….....................................................…......…… 13

 

 

MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA, QUE NO OPERA

NÚMEROS NI CÁLCULOS ALGORÍTMICOS, EN DIAGRAMAS ARTESIANOS .................................................................................................................................. 17

 

 

COMENTARIO PRELIMINAR: modelización gráfica a mano alzada …................................ 19

 

 

MÓDULO BÁSICO ….................................................................................... 21

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 1

La representación gráfica, a mano alzada, de un fenómeno de cambio en la recta

numérica ….................................................................................................................… 23

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 2

La representación gráfica, a mano alzada, de un fenómeno de cambio en diagrama

cartesiano. Concepto. Actividades/ juegos introductorios …......................................….. 27

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 3

La representación gráfica, a mano alzada, de un fenómeno de cambio en

diagrama cartesiano. El modelo de 2 variables ……......................................................... 29

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 4

Desde el lenguaje gráfico al lenguaje verbal, y viceversa ………….........................…..…… 33

 

 

 

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NIVEL DE COMPLEJIDAD 5

El modelo de 2 variables con vínculo negativo …………...............................................…… 35

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 6

Ejercicios/ juegos de modelización gráfica en 2 variables, con

vínculos positivo, negativo y nulo ……...………………..…..................................................… 37

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 7

El modelo de 2 variables que considera la intensidad del vínculo ….............................…. 43

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 8

Modelos de 3 variables …………….…………………….........................................…............…… 51

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 9

Ejercicios/ juegos de modelización gráfica en 3 variables ……............................….....…… 57

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 10

Modelos de más de 3 variables …………………….……....................................................…… 61

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 11

Modelización en 2 variables de fenómenos de cambio, considerando los puntos de

intersección de la curva con los ejes coordenados. Actividades/juegos introductorios ... 67

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 12

Modelización en 2 variables de fenómenos de cambio, considerando los puntos de

intersección de la curva con los ejes coordenados. Proporcionalidad simple I ................ 73

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 13

Modelización en 3 variables de fenómenos de cambio, considerando los puntos de

 

 

 

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intersección de las curvas con los ejes coordenados. Proporcionalidad compuesta I …... 85

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 14

Modelización en 2 variables de fenómenos de cambio, con ritmos de variación

acelerada, desacelerada y constante. Proporcionalidad simple II …..........................…. 101

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 15

El modelo de 3 variables que considera vínculos complejos entre variables.

Proporcionalidad compuesta II ………………………..................................................…..….. 121

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 16

Modelización en 3 variables de fenómenos de cambio, con ritmos de variación

acelerada, desacelerada y constante ………………........................................................... 145

 

 

 

MÓDULO SECUENCIAL ADAPTABLE – Variables anidadas en modelos

gráficos de trazo a mano alzada, en diagramas cartesianos …................... 161

 

 

INTRODUCCIÓN ………………..........………………………..………....................................................…....… 163

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD “VARIABLES ANIDADAS A-1”

La representación gráfica a mano alzada de fenómenos de cambio, en modelos

de 3 variables y 2 niveles de anidamiento ……..........................................................….. 167

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD “VARIABLES ANIDADAS A-2”

La representación gráfica a mano alzada de fenómenos de cambio, en modelos

 

 

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de 4 variables y 2 niveles de anidamiento …............................................................….. 173

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD “VARIABLES ANIDADAS A-3”

La representación gráfica a mano alzada de fenómenos de cambio, en modelos

de 3 niveles de anidamiento …..................................................................................….. 177

 

 

 

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PRESENTACIÓN

 

La finalidad de esta propuesta es presentar una estrategia de enseñanza aprendizaje que utiliza un lenguaje gráfico cuyos enunciados van cobrando rigurosidad en forma progresiva durante el transcurso de los sucesivos capítulos. En su forma más simple, este lenguaje puede ser operado desde edad temprana dado que no opera números ni cálculos con algoritmos. Luego, capítulo tras capítulo, en un proceso espiralado de enseñanza aprendizaje, desarrollará formas cada vez más complejas con la finalidad de avanzar en la precisión de los enunciados que se pretende comunicar y/o transmitir. Así entonces, en esta obra se trabajará desde un lugar que aquí será denominado “lenguaje gráfico de trazo a mano alzada”. Este lenguaje gráfico … ¿es lenguaje matemático?. Es un lenguaje de cuantificación que facilita el tratamiento de temáticas que presentan aspectos cuantificables.

 

A lo largo del libro, con la finalidad de suscitar el interés de los alumnos, se presentan actividades contextualizadas que pueden ser operadas como juegos. Situaciones reales se presentan a través de actividades en las que se considera la importancia decisiva de dar significado a lo que se enseña y aprende.

 

 

La estrategia

 

Una línea trazada sobre una recta numérica o en un diagrama cartesiano contiene un mensaje: está diciendo algo. Si ese algo refiere a una situación que ocurre en el mundo, puede evaluarse la “RAZONABILIDAD” de lo que el gráfico está diciendo.

 

Entonces, estas líneas trazadas en rectas numéricas y diagramas cartesianos, que dicen cosas que ocurren o pueden ocurrir en el mundo, se constituyen en un lenguaje apto para comunicar ideas. Utilizado en el aula como instrumento didáctico por maestros y profesores para enseñar los temas a tratar en sus clases, favorecerá además en los alumnos, el desarrollo, por medio de la ejercitación, de capacidades para el manejo de herramientas alternativas de comunicación. En no pocos casos los mensajes, las ideas, los conceptos, transmitidos por medio de estos gráficos

 

 

 

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facilitan aprendizajes que comunicados en lenguaje coloquial pueden resultar engorrosos.

 

Así entonces, estamos ante instrumentos de comunicación, que comunican ideas, conceptos que deben ser aprendidos, y para ello, comprendidos. Ello involucra un juicio crítico acerca de la razonabilidad de cada idea, es decir, de cada enunciado que los gráficos presentan.

 

Además, siendo muchos de los conceptos que se enseñan en cualquier ámbito, susceptibles de tratamiento diferenciado según niveles de complejidad progresivos, es necesario contar con instrumentos didácticos que se adapten a las necesidades de tratamientos temáticos que permitan abordajes de complejidad progresiva, que permitan el acceso a estrategias orientadas a aprendizajes espiralados.

 

En ese sentido, la representación de una idea utilizando para ello la recta numérica, involucra un tratamiento particularmente sencillo para que sea fácilmente comprendido por el receptor, por quien está aprendiendo. Puede continuarse este proceso de comunicación, de enseñanza-aprendizaje, enriqueciendo esa idea al representarla por medio de una línea de trazo a mano alzada en un diagrama cartesiano. Para aquella idea original, simple, enriquecida luego con algún detalle adicional, la recta numérica puede resultar insuficiente para significar los nuevos detalles. El diagrama cartesiano, como instrumento de representación más sofisticado, puede permitir su captura y simbolización gráfica.

 

De esta manera, ideas representadas sobre una recta numérica, son retomadas después, simbolizadas en líneas de trazo a mano alzada en un diagrama cartesiano. Este diagrama, asumiendo progresivamente atributos de complejidad creciente, va conformando a lo largo de este trabajo una sucesión de versiones: al distinguir en los fenómenos representados detalles y sutilezas que involucran cada vez mayor nivel de precisión, cada una de las sucesivas versiones significa un avance, una superación de las anteriores. Así, la recta numérica y el diagrama cartesiano se constituyen en instrumentos gráficos, didácticos y versátiles para la representación modelizada de hechos, fenómenos y situaciones que deben ser enseñados en las aulas.

 

Un aspecto central de esta estrategia es considerar la importancia de la significación y producción de sentido en los procesos de enseñanza-aprendizaje. En esta obra se ha seleccionado una temática particular como contexto de las actividades que se desarrollan. En ella se exponen diversas situaciones en el marco de la temática “DENSIDAD DE LA POBLACIÓN DE LA CIUDAD DE FELICILANDIA EN AÑO 2040”. La estrategia de significación y producción de sentido que aquí se expone, parte de una

 

 

 

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representación elemental en recta numérica de variables referidas a la temática citada. En un proceso de progresiva complejización, que propone como disparador una hipótesis también elemental, se va construyendo, secuenciando adecuadamente, un conjunto de ideas de complejidad creciente expresadas a través del sistema simbólico que se ha descripto, utilizando la recta numérica y el diagrama cartesiano como instrumentos para la comunicación de la ideas.

 

Resumiendo, se expone en este trabajo una estrategia de enseñanza/ aprendizaje contextualizada y de carácter espiralado que se desarrolla con base en un “lenguaje de cuantificación” que aquí denominaremos lenguaje “de trazo a mano alzada en diagramas cartesianos” que no opera números ni cálculos algorítmicos . Se representan, en los sucesivos tramos de la espiral, las ideas y conceptos retomados desde el tramo anterior, para enriquecerlos en un proceso continuo de sofisticación de los instrumentos de representación gráfica: la recta numérica y sucesivas versiones, de complejidad creciente, del diagrama cartesiano.

 

La obra

 

El trabajo esta conformado por el segmento denominado “MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA QUE NO OPERA NÚMEROS NI CÁLCULOS ALGORÍTMICOS EN DIAGRAMAS CARTESIANOS”, que incluye un “COMENTARIO PRELIMINAR” y dos módulos, el “MÓDULO BÁSICO” y el “MÓDULO SECUENCIAL ADAPTABLE – Variables anidadas en modelos gráficos de trazo a mano alzada, en diagramas cartesianos”.

 

En el “COMENTARIO PRELIMINAR” se explicita el alcance de la expresión “modelización gráfica a mano alzada”. Se incluye aquí consideraciones que serán pertinentes para interpretar el sentido de la idea, del propósito central, que orienta las actividades que se desarrollan a lo largo de la totalidad de esta propuesta educativa.

 

A continuación, en el “MÓDULO BÁSICO”, con 16 capítulos en los que se han diferenciado 16 niveles sucesivos de complejidad, se han incluido estipulaciones con la finalidad de definir el formato de representación que asumen los modelos a medida que se transita por los sucesivos niveles, de manera tal que permitan analizar las situaciones que se plantean con progresivos grados de precisión en sus enunciados gráficos. Se presentan en estos capítulos actividades/ juegos contextualizados en una temática, dando así a estas actividades un

significado y un sentido que pretende atraer el interés de los cursantes.

 

Finalmente, se presenta el “MÓDULO SECUENCIAL ADAPTABLE – Variables anidadas en modelos gráficos de trazo a mano alzada, en diagramas cartesianos”. En su carátula se incluye una “NOTA”, en la que se explicita que la razón que

 

 

 

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explica el carácter secuencial y adaptable de este módulo, es facilitar su intercalación entre los diferentes capítulos del “MÓDULO BÁSICO”. De esta forma, el docente que dicta tendrá la opción de secuenciar la presentación de contenidos que involucran complejidades diversas, utilizando la estrategia más adecuada, seleccionando el instrumento didáctico más conveniente en cada caso, adecuando dicha secuencia al avance del curso y a situaciones particulares en un contexto de enseñanza personalizada. A continuación se expone una “INTRODUCCIÓN” en la que se expone el concepto de “modelo de variables anidadas”, y se estipula el formato que asumirán las representaciones, también “de trazo a mano alzada” en diagramas cartesianos, que se formularán en cada uno de los 3 capítulos que refieren a los niveles de complejidad creciente A-1, A-2 y A-3 que conforman este módulo. En el primero de estos 3 capítulos, “Nivel de complejidad ‘Variables anidadas A-1’”, se presentan fenómenos cuya modelización en un sistema de diagramas cartesianos involucra 3 variables y 2 niveles de anidamiento. En el capítulo siguiente, “Nivel de complejidad ‘Variables anidadas A-2’”, se propone la modelización de fenómenos en sistemas cartesianos con 4 variables y 2 niveles de anidamiento. Finalmente, en el siguiente capítulo “Nivel de complejidad ‘Variables anidadas A-3’” los fenómenos modelizados se presentan en 5 variables con 3 niveles de anidamiento.

 

Si bien las características de las situaciones planteadas a partir de las 6 variables que se han definido en este trabajo no permiten incluir aquí modelos con variables anidadas en 4 y más niveles, es importante dejar indicado que el modelo de variables anidadas es susceptible de ser generalizado a modelos de n variables anidadas en m niveles.

 

 

El primer paso

 

Sin embargo, para recorrer el extenso camino que hemos referido, debe antes darse el primer paso en esta secuencia. Y ese primer paso exige atrapar el interés del estudiante para luego continuar. Si el lenguaje gráfico de trazo a mano alzada, logra ser contextualizado por el docente en la representación de situaciones que despierten el interés del estudiante, podemos tener una esperanza …

 

 

 

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INTRODUCCIÓN

 

 

Se presenta a continuación una situación cuya finalidad es otorgar un marco de significación a las actividades de modelización gráfica que se desarrollarán a lo largo de esta obra.

 

La temática sobre la que se trabajará considera una ciudad de ficción: Felicilandia. Y en relación a ella el interés es estimar cuál será la densidad de su población en el año 2040.

 

En una primera instancia de simplificación en el análisis del fenómeno “densidad de población” en la ciudad de Felicilandia en el año 2040, se identifica un aspecto que lo determina, que es la “cantidad de habitantes” que esta ciudad albergará en el año 2040.

 

Así entonces, para analizar el fenómeno propuesto, en esta instancia de simplificación extrema deben considerarse en forma simultánea los 2 aspectos: “densidad de población” y “cantidad de habitantes”, ambos en el año 2040. Si quiero calcular cuál será la densidad de la población de Felicilandia en el año 2040, necesito estimar, en principio, la cantidad de habitantes que albergará esa ciudad en el año 2040. Y para aproximar algún resultado, debo considerar que cada uno de los 2 aspectos puede ser visualizado como un elemento variable, y a partir de ellos formular una hipótesis.”

 

 

 

Dos aspectos, dos variables y una hipótesis

 

Dos aspectos:

 

Aspecto 1) se supone que la densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040 es variable.

Aspecto 2) se supone que la cantidad de habitantes que albergará la ciudad de Felicilandia en el año 2040 puede asumir diversos valores.

 

Dos variables

 

 

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Para cada uno de los aspectos considerados puede definirse una variable para medir su dimensión cuantitativa. Las variables que se presentan en el “Nivel de complejidad 1”, a continuación de esta “Introducción”, asumirán el formato:

 

Variable V1 à V1 - Definición: densidad de la población en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

Variable V2 à V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

Una hipótesis

 

Así entonces, a partir de estas dos consideraciones, se formula la hipótesis siguiente, la cual involucra la definición de 2 categorías de variables: variables dependientes y variables independientes. En esta situación V1 es variable dependiente y V2 es variable independiente.

 

 
 
 
 
 

Sin embargo, puede especularse: en el periodo que se extiende entre los años 2010 y 2040, ¿cuál será la política de control de la natalidad?; ¿habrá entonces muchos nacimientos?; ¿cómo progresará la medicina y cuál será entonces la evolución de la esperanza de vida en Felicilandia en el periodo?; ¿se reducirá entonces el numero de fallecimientos?; ¿cuál será la dirección de las migraciones de población?; ¿atraerá inmigrantes o la migración será hacia el exterior?; ¿puede alguna eventualidad modificar el trazado de los límites de la ciudad? Son diversas las circunstancias que incidirán en el periodo 2010/2040 para determinar la “densidad de la población en Felicilandia en el año 2040".

 

No obstante, se comenzará considerando la hipótesis que se acaba de formular, sin considerar, por ahora, las circunstancias apuntadas en el párrafo anterior.

 

 

 

* * *

 

 

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Seguidamente, iniciamos el tránsito por este camino que denominamos “MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA QUE NO OPERA NÚMEROS NI CÁLCULOS ALGORÍTMICOS EN DIAGRAMAS CARTESIANOS”. Después del “Comentario Preliminar”, donde se expone la justificación y el alcance de la actividad de enseñanza-aprendizaje que hemos denominado “modelización gráfica a mano alzada”, se comienza a recorrer dicho primer nivel de complejidad con actividades de modelización extremadamente sencillas, de un nivel elemental, para luego, en los capítulos sucesivos, complejizar progresivamente el análisis de la temática propuesta, incorporando aspectos relevantes de la misma, planteando circunstancias diversas que pueden determinar alteraciones en la “densidad de la población en Felicilandia en el año 2040”.

 

 

 

NOTA 2: ENUNCIADOS HIPOTÉTICOS

Todas y cada una de las representaciones gráficas expuestas en este trabajo son enunciados hipotéticos, que pueden, o no, ser enunciados verdaderos. De esta manera, cada uno de ellos es una propuesta cuya veracidad debería ser contrastada empíricamente, para, así, ser verificada.

 

NOTA 2: LA DISTINCIÓN ENTRE TRAMOS RELEVANTES Y TRAMOS NO RELEVANTES DE VARIACIÓN DE LAS VARIABLES DE UN MODELO GRÁFICO

En cada uno de los modelos expuestos en este libro deberán considerarse únicamente los tramos de las variables que tengan sentido en relación con la situación específica de la realidad que se está representando, debiendo descartarse aquellos tramos que son incompatibles con esa situación.

En algunos casos el modelista tendrá la intención de modelizar sólo un tramo de la variable independiente en el cual el fenómeno a ser analizado presenta determinadas características. Explicitada su intención, el procedimiento es absolutamente válido: quedan descartados del modelo aquellos tramos de la variable que el modelista ha estipulado como irrelevantes para esa modelización en forma particularizada.

 

 

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MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA QUE NO OPERA NÚMEROS NI CÁLCULOS ALGORÍTMICOS EN DIAGRAMAS CARTESIANOS

 

 

 

 

 

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COMENTARIO PRELIMINAR

 

 

 

MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA

 

¿Cuál es el significado, el alcance y la razón de la inclusión en este trabajo de la expresión “a mano alzada”, y de su metodología, aplicada a las técnicas de modelización gráfica que se exponen en esta obra?

 

A continuación se enuncian algunas consideraciones que serán pertinentes para interpretar el sentido de la idea, del propósito central, que orienta las actividades que se desarrollan a lo largo de esta propuesta educativa.

 

 

A) Un lenguaje

 

Se presenta aquí un lenguaje apto para evaluar hechos cuantificables, que no requiere operación numérica. Conformado por un conjunto reducido de sencillas reglas de modelización gráfica, tiene como finalidad su aplicación en procesos de enseñanza- aprendizaje orientados a la exploración de relaciones, formulación de hipótesis y solución de problemas. Como componente de una estrategia metodológica centrada en aprendizajes significativos, propone el análisis de fenómenos contextualizados en situaciones concretas, que pueden representarse en términos de figuras (formas plásticas), que se interpretan mediante el cálculo visual.

 

 

B) Formas de expresión plástica vs formas de expresión numérica

 

Así entonces, en esta obra, utilizando esta metodología para analizar hechos y situaciones, se construirán modelos gráficos en rectas numéricas y diagramas cartesianos desde el nivel más

 

 

 

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elemental. Se prescindirá de la utilización de números para expresar las cantidades.

 

Sin embargo, como de mediciones se trata, no podremos evitar tener que lidiar con cantidades. ¿Cómo se expresarán las cantidades si no se usan los números? Se expresarán a través de la longitud de segmentos referidos a la longitud de otro segmento, definido por el modelista, y para cada caso, como unitario. Si consideramos I) el universo de los números reales, y II) la longitud de cada uno de los segmentos determinados por el punto de origen y cada uno de los puntos sucesivos de ambos semiejes de un eje, definiendo arbitrariamente un segmento cuya longitud represente la unidad, podremos encontrar, en correspondencia biunívoca, para cada número real, un segmento que lo represente, segmento éste cuya longitud será evaluada, en esta presentación, en términos físicos, visuales. Estamos sustituyendo el uso de una forma de expresión ideal, abstracta, el número, por una forma de expresión concreta, de evaluación visual, plástica: la longitud de un segmento.

 

 

C) Medición precisa vs medición aproximada

 

Tampoco mediremos en términos precisos la cantidad que la longitud de cada segmento indica: sólo compararemos visualmente longitudes entre ellos, y extraeremos conclusiones cuantitativas aproximadas desde esa comparación, ignorando inclusive la definición de una unidad de longitud universal: el modelista definirá, en cada caso su propia unidad de longitud para medir cantidad. En la comparación estableceremos la igualdad de 2 o más segmentos, distinguiremos un segmento nulo, también si un segmento es mayor (menor) que otro, si lo es “muy poco", "poco", "bastante", "mucho", "muchísimo", si es enormemente, o infinitamente mayor (menor), haciendo uso de categorías cuantitativas no exactas: estamos sustituyendo la medición precisa por la medición aproximada, a partir de la utilización de categorías conceptuales que nos permiten operar este lenguaje en un nivel de extrema simplificación. En este contexto simplificado de la representación gráfica, el trazo preciso de una curva en el diagrama cartesiano se hace innecesario. Así, entonces, aparece como relevante el concepto de representación gráfica “A MANO ALZADA.

 

Los modelos gráficos que aquí se construyen, no se expresan en términos algebraicos. En ese caso se podrían calcular con precisión las cantidades con que opera cada modelo. Las cantidades con que opera la modelización gráfica de trazo a mano alzada no tendrán la precisión que el cálculo algebraico permite, tendrán la precisión que el cálculo visual de longitudes y formas permita: lo que se pierda en precisión se ganará en simplicidad orientada a aprendizaje, pues ése es el objetivo principal de este trabajo.

 


 

 

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MÓDULO BÁSICO

 

 

 

 

 

 

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NIVEL DE COMPLEJIDAD 1

 

 

La Representación Gráfica A Mano Alzada De Un Fenómeno De Cambio

En La Recta Numérica

 

 

 

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Las Variables y Su Representación Gráfica

A Mano Alzada

 

Retomando la idea expuesta en el último apartado de la “Introducción”, comenzaremos aquí con actividades de modelización extremadamente sencilla, de un nivel elemental.

 

 

Representación gráfica en la recta numérica (a mano alzada) de la variable V1

 

Consideramos a continuación la variable V1 definida en la “Introducción”.

Variable V1 à V1 - Definición: densidad de la población en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

 

 

Actividad 1

Se considera la densidad de la población en la ciudad de Felicilandia en el año 2040. El concepto “densidad de población” será denominado aquí variable V1, o simplemente V1. Se

 

 

 

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propone considerar las siguientes situaciones alternativas. En el año 2040 la empresa que presta el servicio de agua corriente verifica un promedio por manzana:

a) de 53 hogares que son usuarios del servicio;

b) de 122 hogares que son usuarios del servicio;

c) de 287 hogares que son usuarios del servicio;

 

Construir un modelo gráfico que represente en un eje, a mano alzada, las variaciones en V1 que proponen las situaciones expuestas en a, b y c.

 

 

Actividad 2

 

 

 

Representación gráfica en la recta numérica (a mano alzada) de la variable V2

 

Consideramos a continuación la variable V2 definida en la “Introducción”.

 

Variable V2 à V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

 

Actividad 3

Se considera la cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040. Esta cantidad será denominada aquí variable V2, o simplemente V2. Se propone evaluar tres alternativas. Se verifica en el periodo 2010/2040 que las mujeres que son madres en Felicilandia tienen en promedio:

a) 2 hijos;

b) 3 hijos;

c) 4 hijos;

 

 

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Construir un modelo gráfico que represente en un eje, a mano alzada, las variaciones en V1 que se proponen en a, b y c.

 

 

Actividad 4

 

 

 

 

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NIVEL DE COMPLEJIDAD 2

 

 

La Representación Gráfica A Mano Alzada De Un Fenómeno De Cambio En Diagrama Cartesiano. Concepto. Actividades/ juegos introductorios

 

 

 

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Prolongando la línea de complejidad creciente que sigue esta propuesta educativa, en este capítulo se inicia el trabajo con el diagrama cartesiano. Este instrumento de representación será guía y eje de todas las actividades que se desarrollarán desde aquí hasta el final de este trabajo.

 

 

Conformado a partir de 2 rectas numéricas que se cortan perpendicularmente, este instrumento de representación, el diagrama cartesiano, será utilizado en esta obra considerando solo su cuadrante NE con sus correspondientes semirrectas, denominadas ejes coordenados, y el punto de origen de las mismas, el punto “O”.

 

 

 

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A continuación se propone trabajar en la “Actividad 5” y la “Actividad 6”, en las que las

variables V1 y V2, ya definidas, y aplicadas en actividades anteriores, se representarán ahora en cada uno de los ejes del diagrama cartesiano.

 

 

 

Actividad 5

 

 

Ubique en el diagrama cartesiano que representa a las variables V1 y V2, la posición que asume un punto P, cuyas coordenadas se corresponden con la densidad OV1 de la población en Felicilandia en el año 2040, y la cantidad de habitantes OV2 de esa ciudad en ese mismo año, contextualizando al punto P en la situación real configurada por las variables V1 y V2 presentadas anteriormente.

 

 

Actividad 6

 

Enuncie el significado del punto P, contextualizándolo en la situación real que se simboliza por medio del sistema conformado por las variables V1 y V2, presentadas anteriormente, y el diagrama cartesiano.

 

 

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NIVEL DE COMPLEJIDAD 3

 

La Representación Gráfica A Mano Alzada De Un Fenómeno De Cambio En Diagrama Cartesiano - El modelo de 2 variables

 

 

NOTA:

En este nivel de complejidad, el instrumento gráfico de representación modelizada, el diagrama cartesiano de trazo a mano alzada, sólo nos permitirá distinguir en las curvas el carácter de “inclinada hacia arriba”, “inclinada hacia abajo”, y “no inclinada”, es decir, eltipo[1] de inclinación.

 

La circunstancia expuesta responde a razones de orden didáctico que determinan que la apropiación de esta herramienta de representación por parte de los alumnos siga un orden progresivo. En ese sentido entonces, es conveniente explicitar las limitaciones en el alcance de este instrumento en este capítulo, en lo que hace a las características de las curvas que se tomarán o no en consideración. Ello determinará el nivel de precisión con que los enunciados gráficos representen los fenómenos de cambio. Así, en este nivel de complejidad 3 se ignorará en las curvas:

 

- Restricción I. Grado de inclinación [2], o intensidad del vínculo VDP#VIVU [3].

- Restricción II. Puntos de intersección con los ejes coordenados.

- Restricción III. Formato cóncavo o convexo.

- Restricción IV. Radio de curvatura.

 

Las restricciones señaladas, todas ellas con vigencia en este capítulo, se irán levantando progresivamente en los capítulos posteriores. De este modo, la consideración de nuevas características en las curvas, al introducir elementos de análisis cada vez mas sofisticados, habilitará la identificación de detalles cada vez más sutiles en los fenómenos que se representan en el diagrama cartesiano, a medida que se avance en los sucesivos niveles de complejidad. Merece destacarse que la “Restricción IV. Radio de curvatura” no será levantada en este trabajo, en la idea que introduciría cuestiones que pueden ser engorrosas para una estrategia “de trazo a mano alzada” cuya finalidad es facilitar los procesos de enseñanza aprendizaje en el tratamiento de las temáticas de modelización gráfica.



[1] Cada “tipo” de inclinación incluye diversos “grados” de inclinación.

[2] Debe aquí considerarse el enunciado de la nota al pie de página que precede a ésta (nota 1).

[3] A lo largo de este trabajo se trabajará intensamente con el concepto “vínculo entre variables”. En este caso, en

que las variables vinculadas son 2 (dos), VDP y VIVU, la expresión VDP#VIVU indica “el vínculo entre las variables VDP

y VIVU”. En este mismo capítulo se precisa, más adelante el alcance de este concepto.

 

 
 
 
 
En consecuencia, las representaciones en este nivel de complejidad 3, únicamente distinguirán entre fenómenos que presentan una serie de valores crecientes, de aquellos que presentan una serie de valores decrecientes o una serie de valores constantes. Se ignoran todos los otros aspectos que pueden ser propios del fenómeno que se representa.

 

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Introducimos en este capítulo el modelo gráfico de 2 variables de trazo a mano alzada, representado en diagrama cartesiano.

 

Retomando los conceptos expuestos en el apartado “Dos aspectos, dos variables y una hipótesis” incluido en la “Introducción”, y continuando la línea de progresión iniciada en el “Nivel de complejidad 1” y prolongada en el “Nivel de complejidad 2”, en este “Nivel de complejidad 3”, se considera una situación que se conforma a partir del establecimiento de un vínculo[1] entre 2 variables. Para representarla utilizaremos nuevamente el diagrama cartesiano. En este caso, a diferencia del nivel de complejidad 2, aquí se plantea que el valor de la variable independiente (V2) del modelo sufre modificaciones y que éstas pueden alterar los valores que asume la variable dependiente (V1). En aquel nivel se tomaba en cuenta sólo un punto en el diagrama cartesiano. Una situación de carácter estático, sin movimiento. En este caso, en el nivel de complejidad 3, se considera una línea en el diagrama. Estamos planteando ahora movimientos en los valores de las variables del modelo. Y para otorgar significado a dichos movimientos en los valores de las variables del modelo, la actividad de modelización propuesta en este capítulo estará contextualizada en la situación real que se corresponde con la temática referida a la “Densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en año 2040”, incluida en la “Introducción” de este trabajo.

 

Pero previo al desarrollo de la mencionada actividad de modelización, es necesario anticipar ciertas precisiones que hacen referencia al formato en que se presentan los modelos gráficos en diagramas cartesianos y al significado que aquí se otorga a la expresión “vínculo entre 2 variables”.

 

 

Las estipulaciones referidas al formato de representación de los modelos en diagrama cartesiano

La estrategia de complejización progresiva que se desarrolla a lo largo de toda esta obra requiere que el formato de presentación de los modelos en los sucesivos niveles de complejidad, sean precedidos por una estipulación que precise el significado de la simbolización que exhiben.



[1] El alcance del concepto “vínculo entre 2 variables” se explicita en el próximo apartado.

 
 

De esta manera, a continuación exponemos la “1.a Estipulación”. En ella se establece el formato que asumirá el modelo de 2 variables “de trazo a mano alzada” según el “nivel de complejidad 3”.

 

 

 

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Seguidamente se precisa el alcance del término “vínculo entre 2 variables”.

 

 
 
 
Considerando la situación que se conforma a partir del establecimiento de un vínculo entre
 
 
 
 
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las variables V1 y V2, pueden enunciarse diversas hipótesis referidas a la naturaleza de este vínculo. Estas hipótesis pueden presentarse como enunciados gráficos, por medio de curvas en diagramas cartesianos, las cuales como ya se indicado anteriormente, podrán asumir el carácter de “inclinada hacia arriba”, el carácter de “inclinada hacia abajo” o el de “no inclinada”.

 

A partir de aquí, y hasta el capítulo “Nivel de complejidad 8” incluido, en las actividades 7, 8, 9, 10, 11 y 12, se presentarán actividades lúdicas orientadas a la construcción de habilidades para representar y leer las representaciones de fenómenos graficados por 2 variables en diagrama cartesiano.

 

A continuación, se propone como juego una actividad de modelización gráfica, un ejemplo ilustrativo para ejercitar en la apropiación de los conceptos incluidos en esta “1ra. Estipulación”. Como ya se expuso anteriormente, esta actividad se contextualiza con la finalidad de otorgar significado a la propuesta. El contexto elegido es el tema de la densidad de la población en un país figurado incluido en la “Introducción” de este trabajo.

 

Es la primera parte de una estrategia inicial desde el modelo de 2 variables en su versión más elemental, orientada al desarrollo progresivo de las capacidades precoces de los alumnos para realizar razonamientos abstractos. Luego, en el capítulo siguiente, “Nivel de complejidad 4”, “Actividad 8”, se presentan 3 ejemplos que involucran un tratamiento algo más complejo, para más adelante, en el capítulo “Nivel de complejidad 5”, introducir la 2da, estipulación, y presentar la “Actividad 9”, que se constituye como el anticipo de un extenso conjunto de actividades que se exponen en el capítulo 6, como ejemplificación para afianzar la apropiación del uso práctico de ambas estipulaciones. Todo ello en el marco del modelo de 2 variables en su versión más elemental.

 

 

Actividad 7

 

Se propone con esta actividad iniciar al alumno en el trabajo de modelización en diagramas cartesianos considerando fenómenos en los cuales se observa un elemento que cambia generando cambios en otros elementos.

 

Ejercitación/ juego

Enuncie en la línea punteada el significado de la línea trazada en el diagrama cartesiano que se expone, contextualizando a este diagrama en la situación real que se está simbolizando a partir de las variables V1 y V2.

 
 
 
Enunciado del gráfico:

 

……………………………………………………………………………………

 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 4

 

 

Desde el lenguaje gráfico al lenguaje verbal, y viceversa

 

NOTA: se mantienen en este capítulo las restricciones incluidas en “Nivel de complejidad 3”

 

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Se presentan aquí nuevas actividades para familiarizar al alumno con el uso de los instrumentos de modelización gráfica en diagramas cartesianos expuestos en la “1ra. Estipulación”. En este caso, se requiere del alumno un esfuerzo de abstracción algo más elevado que el requerido para la actividad expuesta en el capítulo anterior a éste.

 

Actividad 8

 

Actividad 8.1) Imaginar la situación que presenta el gráfico, interpretada en lenguaje verbal en el recuadro “COMENTARIO DEL GRÁFICO”.

 

8.1.1) Complete los puntos suspensivos en el resaltado, agregando el texto que se corresponde con la situación que plantea el gráfico.

 
 
 
8.1.2) Responda colocando un círculo en la respuesta correcta.
 
 
 
 

8.1.3) Responda. ¿Porqué? …..……..………..……………………………

 

 

 

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Actividad 8.2) Imaginar la situación que presenta el gráfico, interpretada en lenguaje

verbal en el recuadro “COMENTARIO DEL GRÁFICO”.

 

8.2.1) Complete los puntos suspensivos en el resaltado, agregando el texto que se corresponde con la situación que plantea el gráfico.

 
 
 
8.2.2) Responda colocando un círculo en la respuesta correcta.
 
 
 

8.2.3) Responda. ¿Porqué? …………………………….…………..………

 

 

Actividad 8.3) Imaginar la situación que presenta el gráfico, interpretada en lenguaje verbal en el recuadro “COMENTARIO DEL GRÁFICO”.

 

8.3.1) Complete los puntos suspensivos en el resaltado, agregando el texto que se corresponde con la situación que plantea el gráfico.

 
 
 
8.3.2) Responda colocando un círculo en la respuesta correcta.
 
 
 
8.3.3) Responda. ¿Porqué? …....……..…………….……………
 

 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 5

 

 

El Modelo De 2 Variables Con Vínculo Negativo

 

 

NOTA: se mantienen en este capítulo las restricciones incluidas en “Nivel de complejidad 3”

 

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Se consideran en este nivel de complejidad precisiones referidas al modelo de 2 variables caracterizado por un relacionamiento entre ellas que presenta un vínculo negativo. Es el caso en que la variable VDP disminuye si la VIVU aumenta, y viceversa, si la VIVU disminuye la VDP aumenta su valor. Los modelos de dos variables que exhiben este tipo de relacionamiento requieren una estipulación que precise el formato en que simbolizarán sus representaciones para explicitar la circunstancia apuntada.

De esta manera, a continuación exponemos la “2.a Estipulación”. En ella se establece el formato que asumirá el modelo de 2 variables vinculadas negativamente.

 
 
 
 
A continuación se propone una actividad cuya finalidad es presentar un ejemplo de situación contextualizada que otorgue significado en el trabajo con modelos que aplican esta 2.a estipulación. Para ello se considerará la temática referida a la “densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040”. Así entonces, ahora, en este nivel de complejidad 5 se considerará la incorporación de un nuevo aspecto para el análisis de la situación propuesta: se supondrá aquí:
 
 
 
 
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Aspecto 3) que la superficie que abarca el territorio de la ciudad de Felicilandia puede modificarse.

 

Y, a partir de este nuevo elemento se definirá una nueva variable.

 

Variable V3 à ◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia.

 

Ahora, con esta nueva variable que se incorpora al análisis de la situación tratada en capítulos anteriores, seguidamente, en la actividad 9 se propone vincular a las variables V1 y V3 en un modelo representado a mano alzada en un diagrama cartesiano.

 

Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

 

Actividad 9

 

• La pregunta que se formula a continuación tiene por objeto afianzar el concepto que está involucrado en la definición de la variable V3.

 
 
 
 
 
• Se propone seguidamente representar en diagrama cartesiano la situación modelizada que vincula a las variables V1 y V3, suponiendo que V1 depende de V3.

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población en Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 6

 

 

Ejercicios/ Juegos De Modelización Gráfica En 2 Variables Con Vínculos Positivo, Negativo Y Nulo

 

 

NOTA: se mantienen en este capítulo las restricciones incluidas en “Nivel de complejidad 3”.

 

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En este capítulo se proponen actividades cuya finalidad es ejercitar a los alumnos en el trabajo con modelos que aplican las estipulaciones 1.a y 2.a.

 

De la misma manera que en capítulos anteriores, también en éste se trabajará en forma contextualizada y será a partir de la situación planteada en la “Introducción” de este trabajo.

 

Recordamos que allí se construyó un primer modelo, “elemental”, de aquella situación. Para ello se identificaron 2 aspectos del fenómeno, a partir de los cuales se definieron 2 variables y se pudo establecer una “hipótesis”.

 

Ahora, en este nivel de complejidad 6 se considerará la incorporación de nuevos aspectos que podrían ser relevantes para el análisis de la situación propuesta.

 

Así, en la sección “Actividad 10”, que se presenta a continuación, se desarrollan ejercicios/ juegos de modelización gráfica en diagramas cartesianos que incorporan al análisis nuevos aspectos, que amplían aquella “Hipótesis” expuesta en la “Introducción”. En cada una de las actividades que se proponen en esta sección se presenta un nuevo aspecto de este fenómeno “Densidad de la población de Felicilandia en año 2040”.

 

De esta manera, a partir de estos nuevos elementos para modelizar, se formulan en esta “Actividad 10”, modelos de 2 variables a partir de la 1.a y 2.a estipulación. Se podrá apreciar claramente, al finalizar esta actividad, que la descripción del fenómeno propuesta en la “Introducción” se ha ampliado sensiblemente.

 

Seguidamente se presentan los nuevos aspectos que se incorporan al análisis y las variables que permitirán operar dichos aspectos en forma modelizada. Se incluyen además en esa presentación los aspectos 1 y 2 (ya presentados en la “Introducción”) y el aspecto 3 (presentado en el capítulo “Nivel de complejidad 5”), y también las correspondientes variables 1, 2 y 3, completando así la totalidad de aspectos y variables que se tratan en esta obra. Se recomienda tener a mano la “Introducción” de este trabajo para tener una visión

 

 

 

 

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abarcadora del método de modelización utilizado para estimar cuál será la densidad de la población de Felicilandia en el año 2040 .

 

Aspecto 1 (presentado en la “Introducción”): se supone que la densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040 es variable.

◘ V1 - Definición: densidad de la población en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

Aspecto 2 (presentado en la “Introducción”): se supone que la cantidad de habitantes que albergará la ciudad de Felicilandia en el año 2040 puede asumir diversos valores

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

Aspecto 3 (presentado en el capítulo“Nivel de complejidad 5”): se supone que la superficie que abarca el territorio de la ciudad de Felicilandia puede modificarse.

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia.

 

Aspecto 4 (nuevo aspecto): se supone que la cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040 puede asumir valores diversos.

◘ V4 - Definición: cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el período comprendido entre años 2010 y 2040.

 

Aspecto 5 (nuevo aspecto): se supone que las mujeres de Felicilandia en edad 15 a 49 años pueden ser madres con diferente cantidad de hijos. Así entonces el promedio de hijos por mujer puede asumir valores diversos.

◘ V5 - Definición: cantidad de hijos por mujer de 15 a 49 años en Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040 (promedio del periodo).

 

Aspecto 6 (nuevo aspecto): se supone que los gobiernos en Felicilandia en el periodo 2010/2040 pueden asumir diversos grados de interés en controlar la natalidad en esa ciudad.

◘ V6 - Definición: grado de intensidad en la aplicación de políticas públicas orientadas al control de la natalidad en Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040. ║ Unidad de medida: 1 peso de presupuesto fiscal de Felicilandia asignado anualmente al desarrollo de políticas para el control de la natalidad.

 

 

Actividad 10

 

En esta actividad el docente, en su trabajo de aula debe ignorar los aspectos 3 a 6 que se han expuesto, pues la tarea con los alumnos consiste precisamente en imaginar circunstancias que pueden afectar a la densidad de la población de Felicilandia en el año 2040.

 

Ejercitación/ juegos

 

Así entonces, en cada una de las actividades que aquí se proponen, los cursantes, en actividades grupales:

 

1) imaginarán una circunstancia que podría ocurrir, afectando al fenómeno que se analiza. Dicha circunstancia se presentará con un formato similar al que ha sido expuesto en la “Introducción” de este trabajo. Es decir, en la actividad 10.1 será: “Aspecto 4) se supone que …”. En cada una de las sucesivas actividades que figuran a continuación se presenta un nuevo

 

 

 

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aspecto de la situación, de modo tal que el docente pueda orientar a los alumnos en su tarea de “imaginar”.

 

2) Para cada aspecto identificado, deben proponer un formato de variable, incluyendo la unidad de medida[1], de manera tal que ese aspecto pueda integrarse en el análisis del fenómeno para ser incluido en un modelo de 2 variables.

 

3) En cada una de las actividades, deben seleccionar uno entre 3 gráficos en diagramas cartesianos presentados para su análisis. Cada uno de ellos expone un enunciado gráfico diferente para relacionar a la variables que han sido definidas anteriormente con la variable que se ha incorporado como nueva variable en esa actividad, y también opciones de razonabilidad referidas a la correspondencia entre enunciado gráfico y situación real.

Los cursantes discutirán acerca de la razonabilidad de cada uno de ellos. Señalarán con “SI” o con “NO” en cada uno de los gráficos, evaluando su “razonabilidad”, fundamentando su argumentación, y adicionando nuevos supuestos si fuera necesario.

 

4) Este procedimiento se repetirá para cada nuevo aspecto que se identifique.

 

A continuación se ejemplifica la actividad en cada uno de los apartados Actividad 10.1, 10.2, 10.3 y 10.4.

 


[1] Si bien esta categoría conceptual, “unidad de medida” de la variable, no es operativa dado que no se operan números para medir las cantidades en la actividad/ juego que se realizará, sí, es importante para precisar la noción involucrada en la definición de la variable.

 
 
 
 
 
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Actividad 10.1
 
 
 
10.1.1) Se identifica un “nuevo aspecto” del fenómeno: se supone que la superficie que abarca el territorio de la ciudad de Felicilandia puede modificarse.

 

10.1.2) Explicite el formato de variable que puede representar el aspecto expuesto.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia ║ - Unidad de medida: 1 km cuadrado

 

10.1.3) En las representaciones gráficas en diagrama cartesiano que se exponen a continuación seleccione la opción correcta en cada caso.

 

Recordamos:

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 
 
 
 
 
Actividad 10.2

 

10.2.1) Se identifica un “nuevo aspecto” del fenómeno: se supone que la cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040 puede asumir valores diversos.

 

10.2.2) Explicite el formato de variable que puede representar el aspecto expuesto.

 

◘ V4 - Definición: cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el período comprendido entre años 2010 y 2040. ║Unidad de medida: 1 nacimiento

 

10.2.3) En las representaciones gráficas en diagrama cartesiano que se exponen a continuación seleccione la opción correcta en cada caso.

 

Recordamos:

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

 

 

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NIVEL DE COMPLEJIDAD 7
 

 

El Modelo De 2 Variables Que Considera La Intensidad Del Vínculo

 

 

NOTA:

En la “NOTA” que inicia el capítulo “Nivel de complejidad 3” se incluía una serie de 4 puntos que limitaba, por razones de orden didáctico, la precisión de los enunciados gráficos en diagramas cartesianos, que se correspondían con ese nivel de complejidad.

 

En este capítulo se levanta una de aquellas restricciones: el punto “Restricción I. Grado de inclinación” (de las curvas en diagrama cartesiano), o intensidad del vínculo VDP#VIVU.

Los puntos correspondientes a las restricciones II, III y IV se mantienen en este capítulo, todavía. Recordamos:

 

- Restricción II. Puntos de intersección de las curvas con los ejes coordenados.

- Restricción III. Formato cóncavo o convexo de las curvas.

- Restricción IV. Radio de curvatura de las curvas.

 

En consecuencia, aquí, igual que en el capítulo anterior, de acuerdo al tipo de inclinación, se distinguirá:

- fenómenos de cambio que presentan una serie de valores crecientes, representados por curvas que se extienden de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha en el diagrama cartesiano;

- fenómenos de cambio que presentan una serie de valores decrecientes, representados por curvas que se extienden de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha en el diagrama cartesiano;

- fenómenos de cambio caracterizados por una serie de valores constantes que en el diagrama cartesiano son representados por curvas que se extienden paralelamente al eje coordenado en que se representa la variable VIVU

 

Y ahora, en este capítulo, además, se distinguirá en la representación gráfica de los fenómenos, entre aquellos que son representados por líneas que exhiben diferentes grados de inclinación en el diagrama.

 

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Presentamos en este capítulo una nueva versión del diagrama cartesiano como instrumento de modelizacion gráfica. Esta herramienta de modelización, en esta nueva versión, exhibe un enunciado gráfico que permite mayor precisión en la descripción del fenómeno que está representando.

 
 
 
 
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Actividad 11.1 VDP: V1; VIVU: V2. Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 
 
11.1.1) Responda colocando un círculo en la respuesta correcta.
 
 
 
11.1.2) Responda colocando un círculo en la respuesta correcta.
 
 
 
 
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Aquí finalizamos una etapa que incluye los niveles de complejidad 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, en la que hemos aprendido:
 

A) a trabajar la dimensión simbólica del concepto “variable”, haciéndolo en forma contextualizada con la finalidad de darle significado a la abstracción.

B) a trabajar en una dimensión simbólica el concepto de correspondencia/ interdependencia entre 2 elementos, haciéndolo, igual que en A), y con la misma finalidad, en forma contextualizada, utilizando para ello como instrumento el diagrama cartesiano, que facilita la simbolización,

B1) de situaciones estáticas (en las actividades 5 y 6);

B2) de fenómenos de cambio, con tratamiento modelizado de situaciones reales, todo ello, en procesos de ida y vuelta, tanto desde la situación concreta hacia la abstracción, como desde la abstracción hacia la situación concreta, en actividades 7, 8, 9, 10 y 11.

 

Así, hemos avanzado desde la “Hipótesis” original, expuesta en la “Introducción” de este trabajo, que proponía aceptar el enunciado “Supongo que la densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040 depende de la cantidad de habitantes que albergue esa ciudad en ese año”. Este enunciado, primario, elemental, REDUCCIONISTA, exponía una situación que presentaba sólo dos aspectos. Esa información, limitada, sólo podría ser simbolizada en un modelo que considera exclusivamente dos variables, que son V1 y V2.

 

En un proceso de complejización progresivo se fueron luego incorporando nuevos aspectos a la situación original. Se definieron, sucesivamente, los aspectos incluidos en los capítulos Nivel de complejidad 5 y 6, a partir de los cuales se caracterizaron con definición y unidad de medida las variables V3, V4, V5 y V6, variables éstas que surgen de la imaginación y el sentido común de los cursantes, a partir de un proceso mental que necesariamente involucra un esfuerzo de concentración para ubicarse en una situación concreta que debe ser, en una primera instancia interpretada, para en una segunda instancia, transferirla a una dimensión abstracta,

 

 

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para finalmente, desde allí retornar a la situación concreta cuya comprensión se ha enriquecido en el transcurso del proceso que se ha descripto.

 

Por último, en el nivel de complejidad 7 se introduce el concepto gráfico que permite distinguir, en los fenómenos que consideran 2 variables, el grado de intensidad de la relación que las vincula. Es el grado de inclinación de la curva en el diagrama cartesiano, un reflejo de la intensidad de ese vínculo.

 

Se ve así, en este recorrido, enriquecida y complejizada la situación original. En lo que resta de este trabajo, se considerarán mayores niveles de complejidad, para lo cual será necesario establecer nuevas “estipulaciones” que nos permitan simbolizar con mayor nivel de precisión situaciones más complejas que las tratadas hasta ahora.

 

 

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NIVEL DE COMPLEJIDAD 8

 

Modelos De 3 Variables

 

NOTA:

En este capítulo se mantienen las restricciones II, III y IV que habían sido incluidas en la nota que inicia el capítulo “Nivel de complejidad 3”. Recordamos:

 

- Restricción I. Grado de inclinación, o intensidad del vínculo VDP#VIVU.

- Restricción II. Puntos de intersección con los ejes coordenados.

- Restricción III. Formato de la curva cóncavo o convexo.

- Restricción IV. Radio de curvatura.

 

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Incorporamos en este capítulo un instrumento analítico-didáctico de mayor complejidad y alcance, que nos permitirá aprehender, con un enfoque superador, el fenómeno “densidad de la población de Felicilandia en el año 2040” referido en la “Introducción” de este trabajo.

 

 

El modelo de 3 variables

 

Un fenómeno de cambio que reconoce 2 circunstancias que lo condicionan se puede representar por medio de un modelo de 3 variables que opera en un diagrama cartesiano. Una de las variables se corresponde con el aspecto central que establece el carácter del fenómeno: es la variable dependiente VDP; las otras 2 son las variables que condicionan el fenómeno, es decir que condicionan a VDP, son las variables independientes. Una de ellas es la variable independiente VIVU, y la otra variable, la 3.a será denominada VDT, “variable determinante” en el modelo.

 

El modelo representado en diagrama cartesiano medirá en uno de sus ejes coordenados los valores que asume la variable VDP; en el otro eje coordenado los correspondientes a la variable VIVU. Nos faltaría un eje coordenado para representar la nueva variable VDT …

 

Seguidamente presentamos la actividad 12. En ella se expone una situación en el marco de la temática “Densidad de la población de la ciudad Felicilandia en el año 2040” que estamos tratando en este trabajo. Se pretende facilitar la introducción de los conceptos incluidos en la 3ra. estipulación, que se expone a continuación de esta actividad, estipulación que es necesaria para definir el formato que asumirá el modelo de 3 variables, significando su

 

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NIVEL DE COMPLEJIDAD 9

 

 

Ejercicios/ Juegos De Modelización Gráfica En 3 Variables

 

 

Se presenta a continuación una serie de actividades, ejemplos de situaciones contextualizadas en la temática referida a la “densidad de la población de Felicilandia en el año 2040”, para ilustrar la 3.a estipulación en forma significativa.

 

 

Actividad 13

 

En esta actividad se exponen situaciones representadas en modelos de 3 variables formulados de acuerdo con las pautas de modelización establecidas en la 3.a estipulación. Las variables incluidas son las 6 que se han definido anteriormente.

 

Cada uno de los gráficos que se expone aquí exhibe dos curvas, VDTa y VDTb, o curvas a y b. La curva a se genera a partir del valor a asumido por la variable VDT, es decir VDTa. La curva b se genera a partir del valor b asumido por la variable VDT como incremento desde VDTa hasta VDTb. Cada una de las curvas presenta una inclinación que puede ser positiva (se extiende de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba), negativa (se extiende de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo), o nula (se extiende paralelamente al eje coordenado en que se representa la variable VIVU). También, al ser la curva b un desplazamiento de la curva a, éste desplazamiento puede ser “desplazamiento positivo” (hacia arriba), “desplazamiento negativo” (hacia abajo), o desplazamiento nulo (no se desplaza).

 

Cada gráfico simboliza 2 situaciones, a y b, representada cada una de ellas por su curva correspondiente. Estas curvas pueden exhibir una inclinación razonable o no, al referirlas a cada una de las situaciones que cada una de ellas está representando en el modelo. También, el desplazamiento de la curva b puede ser razonable, o no. Se presentan así cuatro casos posibles:

1) la inclinación de las curvas es razonable, y el desplazamiento de la curva b es razonable. Definimos este caso como “primer nivel de razonabilidad del gráfico”.

2) la inclinación de las curvas es razonable, y el desplazamiento de la curva b NO es razonable. Definimos este caso como “segundo nivel de razonabilidad del gráfico”.

3) la inclinación de las curvas NO es razonable, y el desplazamiento de la curva b, es razonable. Definimos también este caso como “segundo nivel de razonabilidad del gráfico”.

4) la inclinación de las curvas NO es razonable, y el desplazamiento de la curva b, NO es razonable. Definimos este caso como “tercer nivel de razonabilidad del gráfico”.

 

 

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Actividad 13.1.: VDP: V1; VIVU: V2; VDT: V3. Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 

 
 
 

Actividad 13.2.: VDP: V1; VIVU: V3; VDT: V6. Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V6 - Definición: grado de intensidad en la aplicación de políticas públicas orientadas al control de la natalidad en Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040.
 
 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 10

 

Modelos De Más De 3 Variables

 

NOTA:

En este capítulo se mantienen las restricciones II, III y IV que habían sido incluidas en la nota que inicia el capítulo “Nivel de complejidad 3”. Recordamos:

 

- Restricción I. Grado de inclinación o intensidad del vínculo VDP#VIVU.

- Restricción II. Puntos de intersección con los ejes coordenados.

- Restricción III. Formato de la curva cóncavo o convexo.

- Restricción IV. Radio de curvatura.

 

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Aquí se generaliza a “n” variables el modelo original representado en diagrama cartesiano que trataba sólo con 2 variables, ampliado luego como modelo de 3 variables. Con la finalidad de operar esta nueva versión del instrumento de modelización, a continuación exponemos la “4.a Estipulación” en la que se define el formato para la representación del modelo de más de 3 variables.

 
 
 
 
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cuyas VDT asumen 2 valores cada una se representa por 3 curvas: “VDT1a,VDT2a”;

“VDT1b,VDT2a”; “VDT1b,VDT2b”.

 

Cada una de las curvas presenta un tipo de inclinación que puede ser positiva (se extiende de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba), negativa (se extiende de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo), o nula (se extiende paralelamente al eje coordenado que representa a la variable VIVU). También, al ser la curva “VDT1b,VDT2b” un desplazamiento de la curva “VDT1b,VDT2a”, y ésta a su vez un desplazamiento de la curva “VDT1a,VDT2a”, estos desplazamientos pueden tener el carácter de “desplazamiento positivo” (hacia arriba), “desplazamiento negativo” (hacia abajo), o desplazamiento nulo (no se desplaza).

 

Estas curvas pueden exhibir una inclinación razonable o no, al referir cada una de ellas a la situación que está representando en el modelo. También, el desplazamiento de cada una de las curvas puede ser razonable, o no.

 

Así entonces, al poner en perspectiva los enunciados del gráfico con el fenómeno de cambio que está representando, pueden presentarse diversos niveles de adecuación entre gráfico y fenómeno. De esta manera, según sea el nivel de adecuación entre gráfico y fenómeno, pueden establecerse diversos “niveles de razonabilidad” del enunciado de un modelo gráfico de trazo a mano alzada representado en un diagrama cartesiano. De manera análoga a las propuestas de la actividad 13, aquí se establece que el nivel de razonabilidad 1 se corresponde con una aproximación razonable entre modelo y fenómeno, aumentando el guarismo a medida que aumenta la inadecuación entre uno y otro.

 

Lo expuesto para un modelo de 4 variables es extensible a modelos de mayor número de variables siguiendo los mismos criterios.

 

A continuación se exponen actividades de modelización en más de 3 variables, que favorecerán la apropiación de estos conceptos, a partir de ejemplos contextualizados que otorgan significado a este aprendizaje.

 

Las actividades se presentan en sucesivos apartados, 14.1, 14.2, etc., en cada uno de los cuales se considera: la variable VDP, la variable VIVU, y 2 ó más variables VDT. Cada una de las variables VDT asumirá 2 valores a y b, siendo b>a. Con los elementos expuestos en cada uno de los apartados, los cursantes:

 

• discutirán acerca del grado de razonabilidad con que cada uno de los enunciados expuestos en cada gráfico, aproxima a la situación real que se pretende modelizar;

 

evaluarán cada gráfico, seleccionando uno entre los niveles de razonabilidad relativa que se presentan como opciones, explicitando los supuestos que agrega para fundamentar su respuesta. El número de opciones de “niveles de razonabilidad” que se incluyen en cada ejercitación aumenta con el número de variables que conforma cada modelo.

 

 

Actividad 14.1.: VDP: V1; VIVU: V2; VDT: V3, V4, V5

 

Imagine la situación que representa el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V3; VDT: V2, V4, V5, suponiendo que V2, V4 y V5 asume cada una 2 valores, a y b, siendo b > a.

 

Recordamos:

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

 

 

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◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V4 - Definición: cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el periodo comprendido comprendido entre años 2010 y 2040

 

◘ V5 - Definición: cantidad de hijos por mujer de 15 a 49 años en Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040 (promedio del periodo).

 
 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 11

 

Modelización En 2 Variables De Fenómenos De Cambio, Considerando Los Puntos De Intersección De La Curva Con Los Ejes Coordenados - Actividades/ Juegos Introductorios

 

NOTA:

A partir de este nivel de complejidad, se incorpora en los modelos gráficos en diagramas cartesianos, la consideración de “los puntos de intersección de las curvas con los ejes coordenados” (“Restricción II”), categoría de análisis que se había excluido de los capítulos en que se dio tratamiento a los niveles de complejidad 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.

Se mantienen aún como limitaciones al análisis en este nivel de complejidad 11, las restricciones III y IV. Como ya se indicó en la nota al inicio del capítulo “Nivel de complejidad 3”, ésta última restricción no será levantada en el transcurso de esta obra.

 

Recordamos: las restricciones incluidas en el capítulo “Nivel de complejidad 3” establecían que en la curvas en diagrama cartesiano se ignoraría:

 

- Restricción I. Grado de inclinación o intensidad del vínculo VDP#VIVU.

- Restricción II. Puntos de intersección con los ejes coordenados.

- Restricción III. Formato de la curva cóncavo o convexo.

- Restricción IV. Radio de curvatura.

 

Resumiendo: en el capítulo “Nivel de complejidad 8” se levantó la “Restricción I”. En este capítulo se levanta la “Restricción II”. Se mantienen aún las restricciones III y IV.

 

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Se propone en este capítulo presentar actividades introductorias/ juegos cuya finalidad es preparar al alumno para una interpretación ampliada, de mayor alcance conceptual del fenómeno que se representa en diagrama cartesiano. Aquí, al levantar la “Restricción II”, considerando los puntos de intersección de las curvas con los ejes coordenados, los enunciados gráficos permiten capturar características de los fenómenos que las representaciones expuestas hasta aquí no permitían.

 

La actividad 15 que se expone seguidamente exhibe situaciones problemáticas que operan como una introducción para el tratamiento de las temáticas y de la ejercitación que se incluye en el próximo capítulo “Nivel de complejidad 12”.

 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 12

 

 

Modelización En 2 Variables De Fenómenos De Cambio, Considerando Los Puntos De Intersección De La Curva Con Los Ejes Coordenados. Proporcionalidad Simple I
 
 
 
NOTA:

En este capítulo se mantienen aún como limitaciones al análisis en este nivel de complejidad, las restricciones III y IV, igual que en el capítulo anterior.

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Después de las actividades introductorias trabajadas en el nivel de complejidad 11, en que se incluyó la consideración de los puntos de intersección de las curvas con los ejes coordenados, en este capítulo se analiza (aunque con ciertas limitaciones, como se verá seguidamente), a partir de esa misma consideración, si el vínculo que se establece entre las variables VDP y VIVU reviste o no, condición de proporcionalidad.

 

 

NO PROPORCIONALIDAD Y EVENTUAL PROPORCIONALIDAD EN LAS REPRESENTACIONES EN DIAGRAMA CARTESIANO QUE CONSIDERAN LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE LAS CURVAS CON LOS EJES COORDENADOS

 

En este nivel de complejidad, el mejoramiento en la capacidad de representación de nuestro instrumento de modelización gráfica a partir de la consideración de los puntos de intersección de las curvas con los ejes coordenados, posibilitará identificar visualmente:

 

• fenómenos de cambio que tienen condición de NO proporcionalidad:

∙ si una curva con pendiente positiva[1] NO interseca al punto que es origen de coordenadas, NO representa un fenómeno de cambio proporcional directo;

∙ si una curva con pendiente negativa[2] corta en algún punto finito a por lo menos uno

de los ejes coordenados, NO representa un fenómeno de cambio proporcional inverso.

 

una eventual[3] relación de proporcionalidad entre VDP y VIVU en los casos en que:



[1] Una curva con pendiente positiva es aquella que en el cuadrante NE del diagrama cartesiano se inclina de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha.

 

[2] Una curva con pendiente negativa es aquella que en el cuadrante NE del diagrama cartesiano se inclina de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.

 

[3] La representación gráfica de trazo a mano alzada en diagrama cartesiano con las limitaciones establecidas por las restricciones III y IV, no tiene capacidad, por sí sola, para identificar visualmente una relación de proporcionalidad entre VDP y VIVU. En el capítulo “Nivel de complejidad 14”, con el levantamiento de la “Restricción III. Carácter cóncavo o convexo” (de la curva), se explicita la citada “eventualidad”, estableciendo el requisito que debe cumplirse necesariamente para que quede unívocamente definida la condición proporcional del vínculo entre VDP y VIVU.

 

 
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Actividad 16.1.

 

Se propone: imaginar el fenómeno de cambio cuyos aspectos están representados por el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V2, realizando a partir de estos datos los procedimientos expuestos en el apartado “Ejercitación”.

 

● En el fenómeno real: supuestos.

• El carácter del vínculo (el tipo de inclinación de la curva) V1#V2 es positivo.

• Si V2=0, entonces V1=0

 

Recordamos:

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.
 
 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 13

 

 

Modelización En 3 Variables De Fenómenos De Cambio, Considerando Los Puntos De Intersección De Las Curvas Con Los Ejes Coordenados. Proporcionalidad Compuesta I

 

NOTA:

En este capítulo se mantiene aún la vigencia de las restricciones III y IV introducidas en la nota al inicio del capítulo “Nivel de complejidad 3”.

 

 

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Se ha incorporado ya, en el nivel de complejidad 11, la consideración de los puntos de intersección de curva y eje coordenado en las representaciones gráficas de 2 variables en diagrama cartesiano. Luego en el nivel de complejidad 12 se ha desarrollado, aunque con la limitación de su eventualidad, la temática que trata la condición proporcional simple que puede exhibir el fenómeno representado. En este nivel de complejidad 13, se trabajará con fenómenos de cambio que presentan 3 aspectos representados por 3 variables que pueden relacionarse entre sí por un vínculo que verifica la condición de proporcionalidad compuesta, aunque todavía en este nivel de complejidad, con carácter eventual.

 

Así, en este capítulo, cada uno de los gráficos expuestos representa 2 situaciones a y b. En cada una de las 2 curvas que simbolizan las respectivas situaciones, pueden distinguirse las características que han sido ya tratadas en el capítulo “Nivel de complejidad 12”. Allí, en cada diagrama se presentaba una única curva en la que podían identificarse visualmente características particulares tales como el tipo de inclinación (positivo, nulo o negativo), los puntos de intersección con los ejes coordenados, su condición, ya sea NO proporcional, o eventualmente [1] de proporcionalidad. En este capítulo “Nivel de complejidad 13”, que presenta 2 curvas en cada diagrama, representando una situación en el fenómeno de cambio cada una de ellas, se incorporan nuevos elementos de caracterización de las curvas en la representación modelizada: la curva b es un desplazamiento de la curva a, y este desplazamiento puede ser hacia arriba (positivo), hacia abajo (negativo) o nulo, pudiendo, además la nueva curva intersecar de diferentes maneras a los ejes coordenados.



[1] Esto es así porque al no discriminar entre curvas de formato cóncavo o convexo (por la “Restricción III”, aún en vigencia), en este nivel de complejidad las características que presentan las intersecciones de la curva con los ejes coordenados constituyen condición necesaria pero no suficiente para que el enunciado gráfico indique, estrictamente, una relación de proporcionalidad entre VDP y VIVU.

 

 

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A continuación, en los apartados “Actividad 17.1”, “Actividad 17.2”, etc., se presentan 4 ejercicios para su resolución.


Ejercitación/ juegos

En las actividades 17.1 a 17.4 que se exponen a continuación, se propone analizar, con la profundidad y grado de detalle que permite este nivel de complejidad para representar gráficamente en diagrama cartesiano, los fenómenos de cambio cuyos 3 aspectos están simbolizados por el modelo configurado de la siguiente forma: 1 variable VDP, 1 variable VIVU y una variable VDT, todas ellas seleccionadas entre las 6 variables que se han definido anteriormente, suponiendo en cada caso que VDT asume 2 valores, a y b, siendo b>a. En cada una de las actividades se exponen 8 gráficos y en cada uno de ellos se proponen a su vez 8 opciones de razonabilidad.

 

Así, en cada actividad, los cursantes:

● analizarán en cada gráfico las condiciones de eventual proporcionalidad que presentan las curvas, indicando la opción que corresponda en cada caso.

 

● discutirán, fundamentando su argumentación, incluyendo supuestos adicionales si ello fuere necesario para justificar sus respuestas, acerca de la razonabilidad con que los enunciados expuestos en cada uno de los 8 gráficos, aproxima al fenómeno real que se pretende modelizar, señalando la opción de razonabilidad relativa que el cursante evalúa adecuada al situar en perspectiva el enunciado gráfico con el fenómeno real que ha sido delimitado como tal con supuestos arbitrarios en cada una de las actividades que se proponen. El enunciado gráfico será considerado en forma integral. Es decir, para este nivel de complejidad se ponderará conjuntamente: tipo de inclinación, grado de inclinación relativa entre curvas, intersección de cada una de las curvas con los ejes coordenados, razonabilidad del desplazamiento de la curva b, condición de proporcionalidad simple, directa e inversa, y compuesta, directa-directa, directa-inversa, inversa-directa, inversa-inversa.

 

● pueden considerar supuestos diferentes a los expuestos para delimitar el fenómeno real, y evaluar nuevamente la razonabilidad de cada gráfico al colocarlo en perspectiva con el “fenómeno real” que ha sido ahora delimitado con los nuevos supuestos.

 

A continuación se exponen las actividades.

 

 

 

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Actividad 17.1

 

Imagine la situación que representa el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V2; VDT: V3, suponiendo que V3 asume 2 valores, a y b, siendo b > a, y ejecute los procedimientos indicados en “Ejercitación”.

 

● En el fenómeno real: supuestos.

• El vínculo (tipo de inclinación de la curva) V1#V2 es positivo en situaciones a y b. El vínculo V1#V3 es nulo si V2=0, y es negativo si V2>0.

• La intensidad del vínculo positivo V1#V2 (el grado de inclinación de la curva), es mayor en situación a que b. O lo que es lo mismo: el vínculo negativo V1#V3 incrementa, en valor absoluto, su intensidad a medida que V2 aumenta.

• En situación a, si V2=0, la densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040 es nula.

 

Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 
 
 
 
 
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Actividad 17.4

 

Imagine la situación que representa el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V3; VDT: V4, suponiendo que V4 asume 2 valores, a y b, siendo b > a, y ejecute los procedimientos indicados en “Ejercitación”.

 

● En el fenómeno real: supuestos.

• El vínculo V1#V3 (tipo de inclinación de la curva) es negativo, tanto en situación a como en situación b; y el vínculo V1#V4 es positivo para todo valor de V3.

• La intensidad del vínculo negativo V1#V3 (grado de inclinación de la curva), es mayor en valor absoluto en situación b que en situación a. O lo que es lo mismo: el vínculo positivo V1#V4 disminuye su intensidad, a medida que V3 aumenta.

• V3 no puede fácticamente presentar valor nulo. Consecuentemente, el valor nulo de V3 debe ser descartado en el análisis de esta situación. Sin embargo, si la superficie que abarca la ciudad de Felicilandia es muy pequeña, entonces los valores de V1 serán muy elevados en situaciones a y b; y también, por elevada que sea la superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040, la densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en ese año 2040 no será nula.

 

Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V4 - Definición: cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el período comprendido entre años 2010 y 2040

 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 14

 

 

Modelización En 2 Variables De Fenómenos De Cambio, Con Ritmos De Variación Acelerada, Desacelerada Y Constante. Proporcionalidad Simple II

 

NOTA:

En este capítulo “Nivel de complejidad 14” se levanta la “Restricción III – Formato cóncavo o convexo” (de las curvas). Es decir, en el actual nivel de complejidad los enunciados gráficos en diagramas cartesianos que representan fenómenos de cambio, distinguirán:

 

- entre curvas que presentan valores crecientes, decrecientes y constantes;

- entre curvas que presentan diversos grados de inclinación;

- puntos de intersección de las curvas con los ejes coordenados;

- el formato cóncavo o convexo de las curvas;

 

Como ya se indicó en la nota al inicio del capítulo “Nivel de complejidad 3”, no se levanta en este trabajo la “Restricción IV. Radio de curvatura”. Se considera que dentro de la estrategia de modelización gráfica “de trazo a mano alzada”, su inclusión no es funcional a la finalidad central de la estrategia, que es facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la temática de modelización gráfica en diagramas cartesianos.

 

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En este nivel de complejidad 14 se mejora la capacidad del diagrama cartesiano de trazo a mano alzada para representar situaciones reales caracterizadas como fenómenos de cambio. Así, ahora, a diferencia de los niveles de complejidad 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13 se puede distinguir visualmente, el formato “recto” del formato “arqueado”, sea cóncavo hacia abajo o hacia arriba, de las curvas representadas en el diagrama.

 

Estas nuevas capacidades de representación gráfica, que no se incluían en los niveles de complejidad anteriores, permiten ahora identificar detalles del fenómeno con un mayor nivel de precisión. Así, puede ahora:

 

● identificarse visualmente la condición proporcional [1] de un fenómeno de cambio en los casos:



[1] En los niveles de complejidad 12 y 13, en la representación gráfica a mano alzada en diagrama cartesiano sólo se podía identificar en forma “eventual” tanto la proporcionalidad simple del vínculo entre VDP y VIVU, como la proporcionalidad compuesta entre VDP, VIVU y VDT. En este nivel de complejidad 14, es posible identificar un vínculo proporcional en las representaciones gráficas a mano alzada, superando la instancia “eventual”.
 
 
 
 
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Actividad 18.1

 

Se propone: imaginar el fenómeno de cambio cuyos aspectos están representados por el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V2, realizando a partir de estos datos los procedimientos expuestos en el apartado “Ejercitación”.

 

● En el fenómeno real: supuestos.

• El carácter del vínculo (el tipo de inclinación de la curva) V1#V2 es positivo.

• La intensidad del vínculo positivo V1#V2 (el grado de inclinación de la curva para cada valor de V2), se mantiene constante a medida que V2 aumenta.

• Si V2=0, entonces la densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040 es nula.

 

Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 18.6

 

Se propone: imaginar el fenómeno de cambio cuyos aspectos están representados por el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V5; VIVU: V3, realizando a partir de estos datos los procedimientos expuestos en el apartado “Ejercitación”.

 

● En el fenómeno real: supuestos.

• V3 no afecta a V5; en consecuencia el valor de V5 es constante a medida que V3 se modifica.

• V3 no puede fácticamente presentar valor nulo. Consecuentemente, el valor nulo de V3 debe ser descartado en el análisis de esta situación. Sin embargo, si V3 presenta un valor muy reducido, la cantidad de hijos por mujer de 15 a 49 años en Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040 (promedio del periodo) no es nula. Tampoco es en extremo elevada.

 

Recordamos:

 

◘ V5 - Definición: cantidad de hijos por mujer de 15 a 49 años en Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040 (promedio del periodo).

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 
 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 15

 

 

El Modelo De 3 Variables Que Considera Vínculos Complejos Entre Variables. Proporcionalidad Compuesta II

 

NOTA:

En este capítulo, como en el capítulo “Nivel de complejidad 14”, se mantiene sólo la vigencia de la restricción IV.

 

Recordamos: “Restricción IV. Radio de curvatura”

 

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Un modelo de 2 variables representado en diagrama cartesiano sólo permite establecer vínculos entre las únicas 2 variables que han sido incluidas en el mismo. La consideración de un tercer aspecto en el fenómeno y una tercera variable en el modelo que lo representa, permite establecer vínculos de mayor complejidad entre las variables del modelo.

 

Se presenta aquí un enfoque del modelo de 3 variables que permite profundizar en el análisis de las diferentes características que asumen los vínculos que se establecen entre las variables VDP, VIVU y VDT. Se incluirá, como una de las variantes que se presentan, el vínculo proporcional compuesto, ya tratado con grado de profundización conceptual de extrema simplificación en el capítulo “Nivel de complejidad 13”.

 

 

EL VÍNCULO COMPLEJO VDP#VIVU-VDT

 

Un modelo de 3 variables, VDP, VIVU y VDT, se representará por una única curva, a, en el caso que VDT asuma un único valor. Al asumir VDT un nuevo valor se genera una nueva curva, b, en el diagrama cartesiano. En este diagrama con 2 curvas puede identificarse un elemento gráfico de enorme importancia como instrumento para el análisis de situaciones representadas en este sistema de representación modelizada: es la semirrecta que aquí denominaremos “vínculo complejo VDP#VIVU-VDT”, que permite distinguir características diversas en los vínculos mutuos que pueden verificarse entre las variables VDP, VIVU y VDT. Más precisamente, expresa diversas formas de relacionamiento entre las variables VIVU y VDT para incidir en VDP. De la misma forma que, para indicar el vínculo entre VDP y VIVU, se ha utilizado ya anteriormente en este trabajo la expresión “VDP#VIVU”, en nuestro caso, el formato “VDP#VIVU-VDT” es el formato que se usará en esta oportunidad para indicar este vínculo y también a la semirrecta que lo representa.

 

Representación gráfica del vínculo complejo VDP#VIVU-VDT: el vínculo complejo VDP#VIVU-VDT está representado en el diagrama cartesiano, para cada valor de VIVU, por la semirrecta que se superpone o es paralela al eje coordenado VDP y que tiene origen en la curva a y se extiende hasta la curva b.

 
 
 
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Ejercitación/ juegos

 

En los gráficos expuestos a continuación debe tildarse en cada caso la opción que corresponda.
 
 
 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD 16

 

 

Modelización En 3 Variables De Fenómenos De Cambio, Con Ritmos De Variación Acelerada, Desacelerada Y Constante.

 

NOTA:

En este capítulo se mantiene en vigencia la “Restricción IV”.

 

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Este capítulo tiene como finalidad integrar, aplicando en actividades con significado, como lo es la temática “Densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040”, conceptos que se desprenden desde el vínculo complejo VDP#VIVU-VDT.

 

Al referirse a la integración de conceptos, se está considerando al vínculo complejo VDP#VIVU-VDT, como un elemento genérico que incluye al concepto de proporcionalidad simple con sus variantes, al de proporcionalidad compuesta con las suyas, a los aspectos aditivo y multiplicativo con sus respectivas variantes y combinaciones mutuas …, pero por sobre todo ello, se está considerando en este vínculo complejo su notable capacidad para integrar un lenguaje cuantificador, que tiene importantes implicancias en el análisis de comportamientos de fenómenos de cambio reales cuya representación es modelizada en diagramas cartesianos por medio de curvas de trazo recto o arqueado. Así, entonces su trascendencia: porque el vínculo VDP#VIVU-VDT hace posible develar detalles de estos fenómenos que permiten identificarlos con notable precisión.

 

Se trata en este capítulo, que incluye una extensa serie de actividades de ejercitación, con fenómenos que son representados por curvas que pueden ser tanto de trazo recto como de trazo arqueado. Una vez más se aplica aquí la estrategia de enseñanza –aprendizaje espiralado, dado que las mismas 4 actividades que aquí se proponen ya han sido resueltas en anteriores niveles de complejidad más simple, en el capítulo “Nivel de complejidad 9”, que excluía la consideración de las intersecciones de las curvas con los ejes coordenados y “Nivel de complejidad 13”, que excluía el tratamiento de la condición de “recto” o “arqueado” en el trazo de las curvas del diagrama cartesiano.

 
 
 
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Actividad 20.4

 

Imagine la situación que representa el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V3; VDT: V4, suponiendo que V4 asume 2 valores, a y b, siendo b > a, realizando a partir de estos datos los procedimientos expuestos en el apartado “Ejercitación”.

 

● En el fenómeno real: supuestos.

• El vínculo V1#V3 es negativo. La intensidad negativa de este vínculo disminuye a medida que V3 aumenta. Esto es así tanto en situación a como en situación b.

• El vínculo V1#V4 es positivo para todo valor de V3, y la intensidad positiva de este vínculo disminuye a medida que V3 aumenta.

• V3 no puede fácticamente presentar valor nulo. Sin embargo, si la superficie que abarca la ciudad de Felicilandia es muy pequeña, entonces los valores de V1 serán muy elevados en situaciones a y b.

 

Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V4 - Definición: cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el período comprendido entre años 2010 y 2040.

 
 
 
 
 
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MÓDULO SECUENCIAL ADAPTABLE

 

 

Variables Anidadas En Modelos Gráficos De Trazo A Mano Alzada En Diagramas Cartesianos
 
 
 
 
NOTA 1: este módulo puede ser secuenciado intercalando sus actividades con las que se presentan en el “MÓDULO BÁSICO”. El docente que dicta apelará a su criterio para secuenciar los diferentes niveles de complejidad de uno y otro módulo, de acuerdo al avance del curso y a situaciones particulares que pueden verificarse en un contexto de enseñanza personalizado.

 

NOTA 2: en este módulo se mantiene como limitación al análisis la restricción IV.

 
 
 
 
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INTRODUCCIÓN

 

 

Desde el capítulo “Nivel de complejidad 15” en que se introdujo el concepto de “Vínculo Complejo”, aplicándolo a la relación entre la variables VIVU, VDT y VDP, ha quedado pendiente el desarrollo iniciado allí en forma incipiente con el título de “Aspecto Anidado”. Se ha considerado en aquella oportunidad los diferentes aspectos que puede presentar el vínculo complejo VDP#VIVU-VDT, aspectos aditivo, multiplicativo, combinaciones entre ambos aspectos, aspecto proporcional compuesto, y finalmente se hizo referencia al aspecto anidado, pero sólo como una referencia a la estructura conceptual (el vínculo complejo) que lo contiene.

 

Sin embargo, se mencionó una cuestión que hace a la esencia que lo distingue: un cambio en el valor asumido por la variable VDT que afecte a la variable VDP, lo hará sólo si genera una modificación en VIVU; y será esta variación en VIVU, la que finalmente, en forma secuencial, alterará el valor de VDP. Así entonces, es éste el único de los aspectos del vínculo complejo VDP#VIVU-VDT que sigue la secuencia ∆ VDT → ∆ VIVU → ∆ VDP.

 

Debe considerarse también, que el modelo de variables anidadas no se limita únicamente a operar con 3 variables, VIVU, VDT y VDP. Puede operar con gran número de variables que denominaríamos VDT2, VDT3, … VDTn, lo cual introducirá en los modelos crecientes niveles de complejidad en la medida que se incorporen más variables. Además, no sólo esta circunstancia determina en un modelo su nivel de complejidad. Las diversas características que se han ido incorporando a los enunciados gráficos, es decir a las curvas que representan fenómenos en los diagramas cartesianos, en los sucesivos capítulos del “Módulo Básico” en este trabajo, como por ejemplo, intensidad del vínculo entre 2 variables, intersección curvas/ejes coordenados, trazo recto o arqueado en las curvas, y los 4 aspectos del vínculo complejo, son todos elementos que pueden configurar modelos con capacidad para analizar fenómenos y situaciones de variada complejidad.

 

A continuación y una vez más con las finalidad de precisar el alcance de los enunciados gráficos que se corresponden con el modelo de variables anidadas que aquí se desarrolla, se estipulará el formato que asumirán las representaciones en diagramas cartesianos que se formularán en este Módulo Secuencial Adaptable en los capítulos que refieren a los niveles de complejidad A-1, A-2 y A-3.

 
 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD

“VARIABLES ANIDADAS A-1”

 

 

La Representación Gráfica A Mano Alzada De Fenómenos De Cambio En Modelos De 3 variables y 2 Niveles De Anidamiento

 

 

NOTA:

En este capítulo se mantiene como limitación al análisis la restricción IV.

 

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Los fenómenos propuestos para su representación modelizada en este capítulo exhiben aspectos que se relacionan mutuamente de forma tal que las variables que los simbolizan encuadran dicho relacionamiento en el aspecto anidado del vínculo complejo VDP#VIVU-VDT. En este nivel de complejidad, el más básico en esta categoría de “modelos de variables anidadas”, se proponen modelos de 3 variables, con 2 niveles de anidamiento.

 

En este capítulo se comienza por presentar el formato, de notación y gráfico, con que se representarán los modelos de 3 variables con 2 niveles de anidamiento, para continuar luego con actividades de ejercitación/juegos, que serán de gran utilidad para afianzar a los cursantes en el manejo de los formatos de representación de estos modelos.

 

 

EL MODELO DE 3 VARIABLES ANIDADAS EN 2 NIVELES

 

Se describe aquí el formato de representación del modelo de 3 variables anidadas en 2 niveles.Este modelo se representa a partir de 1 variable VDP, 1 variable VIVU y 1 variable VDT.Adelantando aquí que la descripción del formato de representación de este modelo opera como una introducción al formato del modelo de 4 variables anidadas en 2 niveles, que se desarrolla en el capítulo siguiente, el formato de representación del modelo de 3 variables con 2 niveles de anidamiento se constituye como seguidamente se describe:

 

● por la notación VDP{VIVU[VDT]}[1], que se interpreta así: una modificación en el valor de VDT modifica el valor de VIVU, modificación ésta que, a su vez, modifica el valor de VDP. Es necesario mencionar aquí que los criterios de representación expuestos en las



[1] Debe destacarse que esta notación refiere únicamente a la condición inmediata o mediata del vínculo entre las

variables, sin considerar el carácter positivo o negativo del vínculo.

 

 
 
 
 
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Actividad 21

 

Imagine la situación que representa el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V2; VDT: V4, suponiendo que V4, que se representa en “diagrama II”, asume dos valores, α y β, siendo β > α.

La condición “nivel 2 de anidamiento entre variables“, significa en este caso que V1 depende de V2, y ésta a su vez depende de V4.

Se presentan 3 variantes del modelo. Los cursantes procederán, a partir de los datos expuestos, de acuerdo a lo establecido en el apartado “Ejercitación/juegos”.

 

Recordamos:

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V4 - Definición: cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el período comprendido entre años 2010 y 2040.

 
 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD

“VARIABLES ANIDADAS A-2”

 

 

La Representación Gráfica A Mano Alzada De Fenómenos De Cambio En Modelos De 4 variables y 2 Niveles De Anidamiento

 

 

NOTA:

En este capítulo se mantiene como limitación al análisis la restricción IV.

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En este capítulo se extiende a 4 variables el modelo presentado en el capítulo anterior, manteniendo la consideración del vínculo anidado en 2 niveles. Comienza por presentar el formato de notación con que se representarán los modelos de 4 variables con 2 niveles de anidamiento, para continuar luego con actividades de ejercitación/juegos, para afianzar a los cursantes en el manejo de los formatos de representación de estos modelos.

 

 

Modelos De 4 Variables Anidadas En 2 Niveles

 

Este modelo se representa a partir de 1 variable VDP, 1 variable VIVU y 2 variables VDT, que son VDT1 y VDT2. Su formato extiende, como ya se ha mencionado anteriormente, los criterios de representación del modelo de 3 variables anidadas en 2 niveles, aplicando los criterios de representación expuestos en las estipulaciones 1.a, 2.a, 3.a, 4.a y 5.a.

 

Se ha considerado que, dado que pueden verificarse diversas variantes para este modelo de 4 variables y 2 niveles de anidamiento, la mejor descripción de su formato de representación gráfica es su aplicación en actividades de modelización, y con mayor razón si ellas se han contextualizado, como ocurre en la “Actividad 22” que se expone en este capítulo.

 

 

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Ejercitación/Juegos Contextualizados Con Modelos De 4 Variables Anidadas En 2 Niveles

 

Seguidamente se proponen actividades contextualizadas en la temática “Densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040”, incluida en la Introducción de este trabajo. De la misma forma que en actividades presentadas anteriormente en este trabajo, su finalidad es analizar la razonabilidad de modelos, en este caso de 4 variables con 2 niveles de variables anidadas, a partir de las 6 variables que se han definido en capítulos previos.

 

Ejercitación/juegos

 

De igual forma que en el capítulo anterior, en la actividad de representación gráfica que seguidamente se presenta, se propone un modelo a partir de la definición de sus variables VDP, VIVU y VDT. En este caso, se exponen 3 representaciones alternativas del mismo.

 

Se propone aquí, como en el apartado mencionado, que los cursantes, al tratar cada uno de los modelos propuestos, discutan acerca del grado de razonabilidad de cada una de las variantes presentadas, y elaboren un comentario evaluativo, incluyendo supuestos adicionales si ello fuere necesario, para fundamentar cada una de sus evaluaciones. También como en aquella propuesta, se explicitará:

 

● una definición propia por parte del cursante de los supuestos que a su juicio caracterizan al fenómeno real cuyo modelo está configurado a partir de las variables y los vínculos tal como se describen en el enunciado de la propuesta. Esta definición deberá explicitarse en forma de notación de acuerdo a la 5.a estipulación, y en forma de sistema de diagramas cartesianos vinculados. Los supuestos mencionados deben incluir la definición:

- del carácter positivo/negativo/nulo del tipo de vínculo entre las variables;

- del trazo cóncavo hacia abajo/cóncavo hacia arriba/recto, de cada una de las curvas;

- de las intersecciones curva ejes coordenados de cada uno de los diagramas que conforman el modelo;

- de la condición de proporcionalidad simple que puede, o no, vincular a las variables, precisando sus respectivas variantes;

- del carácter positivo/negativo/nulo de los aspectos aditivo y multiplicativo que pueden verificarse en el caso de existencia de vínculo complejo entre las variables que constituyen el “DIAGRAMA I”. También, en el caso en que se verifique el aspecto proporcional compuesto entre las variables representadas en el “DIAGRAMA I”, indicar si el vínculo asume carácter directo-directo, directo-inverso, inverso-directo o inverso-inverso.

 

● una evaluación referida a la razonabilidad integral para cada una de las variantes propuestas en la actividad, analizando desde la situación que el propio cursante considera como fenómeno real a partir de los supuestos que él ha explicitado. Dicha evaluación incluirá una referencia específica a cada uno de los diagramas que conforman la variante, explicitando supuestos adicionales, si ello fuere necesario, para fundamentar cada una de sus apreciaciones.

 

 

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Actividad 22

 

Imagine la situación que representa el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V2; VDT1: V3 y VDT2: V4, suponiendo que V3 asume dos valores, a y b, siendo b > a, y que V4, que se representa en diagrama II, asume también 2 valores, α y β, siendo β > α.

 

La condición “nivel 2 de anidamiento entre variables” significa en este caso que V1 depende de V2 (VIVU) y de V3, siendo que V2 depende a su vez de V4.

 

Se presentan 3 variantes del modelo. Los cursantes procederán, a partir de los datos expuestos, de acuerdo a lo establecido en el apartado “Ejercitación/juegos”.

 

Recordamos:

 

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V4 - Definición: cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el período comprendido entre años 2010 y 2040.

 
 
 
 
 
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NIVEL DE COMPLEJIDAD

“VARIABLES ANIDADAS A-3”

 

 

La Representación Gráfica A Mano Alzada De Fenómenos De Cambio En Modelos De 3 (Tres) Niveles De Anidamiento

 

NOTA:

En este capítulo se mantiene como limitación al análisis la restricción IV.

 

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En este capítulo se avanza un paso más en el trabajo con fenómenos de cambio que se representan en modelos gráficos de variables anidadas. Serán 3 los niveles de anidamiento que exhiben las variables que constituyen los modelos que se exponen en este nivel de complejidad. Aquí podrá apreciarse la capacidad de este sistema de gráficos vinculados para representar un amplio espectro de fenómenos en modelos que permiten la consideración de 4 y más variables, al tiempo que permiten también la consideración de vínculos de características diversas en su mutuo relacionamiento.

 

Así entonces, primero se introducirá la presentación del formato, en notación y gráfico, del modelo de 4 variables y 3 niveles de anidamiento presentando un único ejemplo. Luego se presentará el formato, también en notación y gráfico, del modelo de 5 variables con 3 niveles de anidamiento. En este caso se exhiben 3 ejemplos dado que este modelo puede exhibir formatos diversos. Finalmente, se presenta la actividad 23 con propuestas de ejercitación/juegos de modelización contextualizados en la temática que se ha incluido en la “Introducción” de este trabajo con el título “Densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en año 2040”, en todos los casos trabajando con modelos de 5 variables con 3 niveles de anidamiento.

 

 

El Modelo De 4 Variables Anidadas En 3 Niveles

 

 

 

Este modelo se representa considerando: 1 variable VDP, 1 variable VIVU y 2 variables VDT. Su formato de representación se constituye como seguidamente se describe.

 

 

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Actividad 23

 

Imagine la situación que representa el modelo configurado de la siguiente forma: VDP: V1; VIVU: V2; VDT: V3, V4, V5 y V6, suponiendo que V6, que se representa en el “diagrama IV”, asume dos valores, α y β, siendo β > α.

La condición “nivel 4 de anidamiento entre variables“, significa en este caso que V1 depende de V2 y de V3, siendo que V2 depende de V4, que V4 depende de V5, y que ésta última, a su vez depende de V6.

Se presentan 5 variantes del modelo. Los cursantes procederán, a partir de los datos expuestos, de acuerdo a lo establecido en el apartado “Ejercitación/juegos”.

 

Recordamos:

◘ V1 - Definición: densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V3 - Definición: superficie que abarca el territorio de Felicilandia en el año 2040.

 

◘ V4 - Definición: cantidad de nacimientos ocurridos en la ciudad de Felicilandia en el período comprendido entre años 2010 y 2040.

 

◘ V5 - Definición: cantidad de hijos por mujer de 15 a 49 años en Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040 (promedio del periodo).

 

◘ V6 - Definición: grado de intensidad en la aplicación de políticas públicas orientadas al control de la natalidad en Felicilandia en el periodo comprendido entre años 2010 y 2040.

 
 
 
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